Связность Леви-Чивиты

Свя́зность Леви-Чиви́ты (или связность, ассоциированная с метрикой) — одна из основных структур на римановом многообразии. Даёт естественный способ дифференцировать векторные поля на римановом многообразии; эквивалентно заданию ковариантного дифференцирования, а также параллельного перенесения вдоль кривых. Названа в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты.

Определение

Связность Леви-Чивиты есть аффинная связность с нулевым кручением на римановом (или псевдоримановом) многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math], относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен.

То есть аффинная связность [math]\displaystyle{ \nabla }[/math] на римановом многообразии [math]\displaystyle{ (M,\;g) }[/math] называется связностью Леви-Чивиты, если для неё выполнены следующие два условия:

1. (римановость) для любых векторных полей [math]\displaystyle{ X }[/math], [math]\displaystyle{ Y }[/math], [math]\displaystyle{ Z }[/math] верно
        [math]\displaystyle{ X(g(Y,\;Z))=g(\nabla_X Y,\;Z)+g(Y,\;\nabla_X Z) }[/math],
   где [math]\displaystyle{ X(g(Y,\;Z)) }[/math] обозначает производную [math]\displaystyle{ g(Y,Z) }[/math] в направлении [math]\displaystyle{ X }[/math].
2. (отсутствие кручения) для любых векторных полей [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math]
        [math]\displaystyle{ \nabla_XY-\nabla_YX-[X,\;Y]=0 }[/math],
   где [math]\displaystyle{ [X,\;Y] }[/math] — скобки Ли векторных полей [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math].

Свойства

• Любое риманово (и псевдориманово) многообразие обладает единственной связностью Леви-Чивиты; это утверждение иногда называется основной теоремой римановой геометрии.

См. также

• Метрическая связность
• Параллельное перенесение
• Символы Кристоффеля

Литература

• Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург: Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9.